Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.
Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике.
Чтобы построить развертку поверхности многогранника, нужно определить натуральную величину граней и вычертить на плоскости последовательно все грани. Истинные размеры ребер граней, если они спроецированы не в натуральную величину, находят способами вращения или перемены плоскостей проекций (проецированием на дополнительную плоскость), приведенными в предыдущем параграфе.
Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.
Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная прямая шестиугольная призма (рис. 176, а). Все боковые грани призмы - прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы - правильные шестиугольники со стороной, равной а. Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. 6а. Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками.
Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.
Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера взята правильная четырехугольная пирамида (рис. 176, б). Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения (см. рис. 173, в) истинную длину наклонного ребра SA, равную s"a` 1 (рис. 176, б), из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу радиусом s"a` 1 . На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.
Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 176, в). Построение выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом Rh равным образующей конуса sfd, очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме Пифагора, равна приблизительно
38 мм (L = √l5 2 + 35 2 = √l450 ≈ % 38 мм). Затем подсчитывают угол сектора по формуле
Большой выбор развёрток простых геометрических фигур.
Первое знакомство детей с бумажным моделированием всегда начинается с простых геометрических фигур, таких как кубик и пирамида. Не у многих получается склеить кубик с первого раза, иногда требуется несколько дней, чтобы сделать поистине ровный и безупречный куб. Более сложные фигуры цилиндр и конус требуют в несколько раз больше усилий нежели простой кубик. Если вы не умеете аккуратно клеить геометрические фигуры, значит и за сложные модели вам ещё рано браться. Займитесь сами и научите своих детей клеть эти «азы» моделирования по готовым развёрткам.
Для начала я, конечно же, предлагаю научиться клеить обычный кубик. Развёртки сделаны для двух кубиков, большого и маленького. Более сложной фигурой является маленький кубик потому, как клеить его сложнее, чем большой.
Итак, начнём! Скачайте развёртки всех фигур на пяти листах и распечатайте на плотной бумаге. Перед тем, как печатать и клеить геометрические фигуры обязательно ознакомьтесь со статьёй о том, как выбрать бумагу и как вообще правильно вырезать, сгибать и клеить бумагу.
Для более качественной печати советую использовать программу AutoCAD, и даю вам развёртки для этой программы , а также читайте, как распечатывать из автокада . Вырежьте развёртки кубиков с первого листа, по линиям сгиба обязательно проведите иголкой циркуля под железную линейку, чтобы бумага хорошо сгибалась. Теперь можно начинать клеить кубики.
Для экономии бумаги и на всякий пожарный я сделал несколько развёрток маленького кубика, мало ли вам захочется склеить не один кубик или что-то не получится с первого раза. Ещё одна несложная фигура это пирамида, её развёртки найдёте на втором листе. Подобные пирамиды стоили древние египтяне, правда не из бумаги и не таких маленьких размеров:)
А это тоже пирамида, только в отличие от предыдущей у неё не четыре, а три грани.
Развёртки трёхгранной пирамиды на первом листе для печати.
И ещё одна забавная пирамидка из пяти граней, её развёртки на 4-ом листе в виде звёздочки в двух экземплярах.
Более сложная фигура это пятигранник, хотя пятигранник сложнее начертить, нежели склеить.
Развёртки пятигранника на втором листе.
Вот мы и добрались до сложных фигур. Теперь придётся поднапрячься, склеить такие фигуры нелегко! Для начала обычный цилиндр, его развёртки на втором листе.
А это более сложная фигура по сравнению с цилиндром, т.к. в её основании не круг, а овал.
Развёртки этой фигуры на втором листе, для овального основания сделано две запасных детали.
Чтобы аккуратно собрать цилиндр его детали нужно клеить встык. С одной стороны дно можно приклеить без проблем, просто поставьте на стол заранее склеенную трубку, положите на дно кружок и залейте клеем изнутри. Следите, чтобы диаметр трубы и круглого дна плотно подходили друг к другу, без щелей, иначе клей протечёт и всё приклеится к столу. Второй кружок приклеить будет сложнее, поэтому приклейте внутри вспомогательные прямоугольники на расстоянии толщины бумаги от края трубы. Эти прямоугольники не дадут упасть основанию внутрь, теперь вы без проблем приклеете кружок сверху.
Цилиндр с овальным основанием можно клеить также как и обычный цилиндр, но он имеет меньшую высоту, поэтому тут проще вставить внутрь гармошку из бумаги, а наверх положить второе основание и по краю приклеить клеем.
Теперь очень сложная фигура - конус. Его детали на третьем листе, запасной кружок для днища на 4-ом листе. Вся сложность склеивания конуса в его острой вершине, а потом ещё будет очень сложно приклеить дно.
Сложная и одновременно простая фигура это шар. Шар состоит из 12-ти пятигранников, развёртки шара на 4-ом листе. Сначала клеится две половинки шара, а потом обе склеиваются вместе.
Довольно интересная фигура - ромб, её детали на третьем листе.
А теперь две очень похожие, но совершенно разные фигуры, их отличие только в основании.
Когда склеите эти обе фигуры, то не сразу поймёте, что это вообще такое, они получились какие-то совсем невосприимчивые.
Ещё одна интересная фигурка это тор, только он у нас очень упрощён, его детали на 5-ом листе.
И наконец, последняя фигура из равносторонних треугольников, даже не знаю, как это назвать, но фигура похожа на звезду. Развёртки этой фигуры на пятом листе.
На сегодня это всё! Я желаю вам успехов в этой нелёгкой работе!
Развертка боковой поверхности пирамиды (рис. 16.3) состоит из трех треугольников, представляющих в истинном виде боковые грани пирамиды.
Для построения развертки необходимо предварительно определить истинные длины боковых ребер пирамиды. Повернув эти ребра вокруг высоты пирамиды до положения параллельного плоскости p 2 , на фронтальной плоскости проекций получим их истинные длины в виде отрезков и .
Построив по трем сторонам и грань пирамиды ASB (рис. 16.4) пристраиваем к ней смежную грань – треугольник BSC, а к последнему грань CSA. Полученная фигура представит собою развертку боковой поверхности данной пирамиды.
Для получения полной развертки к одной из сторон основания пристраиваем основание пирамиды – треугольник АВС.
Для построения на развертке линии, по которой поверхность пирамиды пересечется плоскостью a (рис. 16.3), надлежит нанести на ребра SA, SB и SC, соответственно, точки 1, 2 и 3, в которых эта плоскость пересекает ребра, определив истинные длины отрезков S1, S2 и S3.
 |  |
| Рис. 16.3 | Рис. 16.4 |
Контрольные вопросы по теме лекции:
1. Что называется разверткой поверхности?
2. Какие поверхности называются развертываемыми или неразвертываемыми. Приведите примеры.
3. Общие правила построения разверток поверхности призмы, пирамиды.
Сначала строят развертку неусеченной пирамиды, все грани которой, имеющие форму треугольника, одинаковы. На плоскости намечают точку S 1 (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусомR , равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительнуюдлину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки s " e " или s " b " , так как эти ребра параллельны плоскостиW и изображаются на ней действительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, напримера 1 откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника - основания пирамиды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции(отрезок ab ). Точки a 1 - f 1 соединяют прямыми с вершиной s 1 . Затем от вершины а 1 на этих прямых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.
На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух отрезков - s "5" иs "2". Действительные длины остальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершинуs . Например, повернув отрезокs "6" околооси до положения, параллельного плоскости W , получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку6" провести горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребраSE (илиSB ). Отрезокs // 6 0 // представляет собой действительную длину отрезка S 6 .
Полученные точки l 1 , 2 1 , 3 1 и т. д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрихпунктирной линией с двумя точками.
Развёртка усеченного конуса
Построение развертки поверхности конуса начинают с проведения дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса из точки s 0 . Длина дуги определяется углом α:
α=
,
где d - диаметр окружности основания конуса в мм;
l - длина образующей конуса в мм.
Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной s о . От вершины s 0 откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскостиР.
Действительные длины этих отрезков находят, как и в примере с пирамидой, способом вращения около вертикальной оси, проходящей через вершину конуса.Так, например, чтобы получить действительную длину отрезка S 2, надо из 2" провести горизонтальную прямую до пересечения в точкеb / с контурной образу-ющей конуса, являющейся действительной ее длиной.
К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.
Вопросы для самопроверки
Как построить развертку призмы?
Как построить развертку пирамиды?
Как построить развертку цилиндра?
Как построить развертку конуса?
Тема: аксонометрические Проекции
Аксонометрические проекции представляют собой наглядное изображение предмета на плоскости, при котором изображаются все три измерения.
Аксонометрическое проецирование - это параллельное проецирование предмета вместе с координатной системой на некоторую плоскость.
Если проецирующий луч перпендикулярен плоскости проекций - аксонометрия прямоугольная.
Если не перпендикулярен – косоугольная.
Отношение длины аксонометрической проекции отрезка, // аксонометрической оси, к его истинной длине – коэффициент искажения.
k– коэффициент искажения по оси ОХ
m– коэффициент искажения по оси ОУ
n– коэффициент искажения по оси ОZ
Если k=m=n- аксонометрия называется изометрией
Если равны только два коэффициента (k=m≠n) – диметрия
Считается, что цивилизация и культура человечества появилась в Египте, а там до сих пор символом хранения энергии является пирамида. Называют ее сакральной фигурой, которая может в себе содержать большой поток заряженных частиц, поэтому многие люди делают небольшие пирамидки из обычной бумаги, внутри которые являются пустыми. Туда можно положить лезвия и ножи, которые затупились, чтобы они вновь стали годными для резки.
Пирамида из бумаги: схемы
Пирамида своими руками: способы изготовления из бумаги
Сделать пирамиду из бумаги под силу даже новичку, нужно лишь правильно соблюдать инструкцию.
Способ 1. Нужен лист бумаги 40 на 40 см. Для начала его следует сложить от угла к углу, т. е. соединить 2 противоположные стороны. Проделать эти манипуляции следует 2 раза, получится в результате двойной треугольник - это и есть основа, углы ее нужно сложить к центру. После перевернуть фигуру и на обратной стороне сделать то же самое. Здесь же следует разогнуть ромб с одной стороны 2 раза и загнуть внутрь бумагу, также и с др. стороны. Теперь концы пирамиды выгибаются, таким образом должна получиться звезда с 4 концами. А для придания объема, пирамиду нужно просто потянуть за противоположные концы.
Способ 2. В 1-ую очередь нужно наметить линии квадрата по диагонали, для этого следует согнуть и разогнуть противоположные концы. Затем углы каждой стороны надо приподнять вверх и заложить таким образом, чтобы получился квадрат. Углы верхнего квадрата по боковым линиям нужно перегнуть внутрь. Затем верхний треугольник нужно осторожно отогнуть вниз, а затем, придерживая рукой деталь, перевернуть на др. сторону.
На обратной стороне делается то же самое: углы перегинаются и отгинаются вниз. Пирамида уже почти готова, нужно только поднять уголки, расположенные внизу — наверх. Расправлять углы следует до тех пор, пока внизу не будет виден квадрат - это дно пирамиды. Тупым концом ножниц следует отгладить каждую из сторон пирамиды, каждое ее ребро.
Как сделать пирамиду из картона?
Пирамида - символичный предмет. Еще наши предки считали, что она способна принести во внешний мир гармонию. Дома можно самостоятельно сделать ее не только из бумаги, но и из картона.
Способ 1. На белом листе бумаги следует нарисовать квадрат и 4 треугольника. К примеру: треугольник высотой 26,5 см, а ширина его (равная стороне квадрата) - 14,5 см. Теперь при помощи ножниц необходимо вырезать все детали пирамиды, при этом оставляя небольшой отступ для нахлеста. Все элементы сложить вместе и намазать участки соединения клеем, а затем дать высохнуть. После этого можно красками (желательно акриловыми) или карандашами разукрасить готовую фигуру.
Способ 2. Можно склеить пирамиду, применяя математические навыки. Называется такая поделка «Пирамида с золотым сечением». Величина ее будет составлять 7,23 см. Теперь нужно вспомнить геометрию: коэффициент золотого сечения равен 1,618. Теперь этот коэффициент следует умножить на 723 мм — получается 117 мм. Такой будет длина основания у самой пирамиды, высота при этом будет ровняться 72 мм.
Теперь по теореме Пифагора нужно высчитать размер граней треугольника. Длина пирамиды должна быть 117 мм. Если умножить 117 на 117, то получится квадрат основания, которые необходим для того, чтобы пирамида не получилась пустой. На картоне необходимо начертить все детали и вырезать. После соединить грани треугольников. При соединении последнего из них, нужно предварительно поднять вертикально каркас, а после приклеить его.
Углы нужно проклеивать аккуратно и максимально ровно, это будет влиять на устойчивость изделия. Если у фигуры запланировано дно, то его приклеивать нужно в самую последнюю очередь, когда все грани были склеены и уже высохли.
Способ 3. Можно сделать большую пирамиду из старой коробки, к примеру, от холодильника.
Длина основания будет равна примерно 50 см. Для начала нужно расчертить схему фигуры на картоне, беря за основу правило золотого сечения, как в предыдущем примере.
Должны получиться в результате равнобедренные треугольники. Между собой их нужно состыковать по боковой стороне и склеить скотчем так, чтобы сторона картона с надписями была внутри фигуры.
Теперь должна получиться пирамида без основания. Нужно вырезать еще квадрат, длина стороны которого равна 50 см. Он будет нужен для устойчивости.
Способ 4. Пирамида из картона подарочная. Ее можно использовать в качестве упаковки для основного подарка. Для ее изготовления понадобятся: степлер, ножницы, 4 небольших квадрата из картона, скотч, нетолстая лента, карандаш. Нужно взять 4 квадрата из картона, 1 из них нужно сразу отложить в сторону, на др. нарисовать карандашом треугольники, а после их вырезать, причем делать это нужно со всеми 4 треугольниками. К каждой стороне квадрата следует приложить по 1 треугольнику самой короткой частью. После этого треугольник необходимо приклеить к основанию квадрата скотчем.
Далее необходимо взять в руки 3 треугольника и склеить их между собой так, чтобы внутри получился «домик». При этом ни один треугольник приклеивать не нужно. Его нужно оставить открытым, чтобы внутрь фигуры можно было что-нибудь положить.
Проще сделать пирамиду маленького размера, если распечатать предварительно развертку фигуры.
После при помощи линейки нужно согнуть по краям фигуру. Линейка нужно для того, чтобы грани остались ровными. После нужно стык развертки проклеить при помощи «момента», при желании можно еще сделать основание, чтобы фигура была устойчивой.
Если поставить пирамиду из бумаги или картона в помещении в определенном месте, то она будет оказывать положительное влияние на жизнь человека. К примеру, если она расположена в восточной части комнаты, то это положительно будет воздействовать на здоровье, на юго-востоке и юге - поможет обрести финансовую стабильность, на западе - служит оберегом для детей, а на юго-западе - улучшает отношения в семье. Украшайте свой дом и дарите такие хранилища положительной энергии своим родным и близким!
